Induction sur $\mathbb{N}$

Exercice 7

  1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $(n+1)^2-(n+2)^2-(n+3)^2+(n+4)^2=4$.

    Indication : Developpez l’expresion :-)

  2. En déduire que tout entier $m$ peut s’écrire comme somme et différence des carrés $1^2, 2^2,\ldots , n^2$ pour un certain $n$, c’est-à-dire que pour tout $m$ :

    $P(m)$ : il existe $n\in \mathbb{N}$, et $\varepsilon _1,\ldots, \varepsilon _n\in {-1,1}$, tels que $m=\varepsilon_{1}1^2+\varepsilon_{2}2^2+\cdots +\varepsilon_{n}n^2$.

    Indication : Écrivez $0,1,2,3$ comme somme et différence des carrés, puis montrez que $P(m)$ implique $P(m+4)$ en utilisant 1.

Exercice 8

  1. On suppose qu’une propriété $P$ définie sur $\mathbb{N}$ vérifie :

    (i) $P(1)$ est vraie.

    (ii) Si $P(n)$ est vraie alors $P(2n)$ est vraie (pour $n \geq 1$).

    (iii) Si $P(n)$ est vraie alors $P(n - 1)$ est vraie (pour $n \geq 2$).

    Montrer par récurrence sur $n$ que $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 1$.

    Solution : Base : $P(1)$ vraie (par (i))

    Induction : Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n \geq 1$, alors par (ii) $P(2n)$ vraie et par (iii) $P(2n - 1), \ldots, P (n + 1)$ vraies, car $2n, 2n-1, \ldots, n+1$ sont supérieurs ou égaux à $2$. Donc $P(n)$ implique $P(n + 1)$ pour $n \geq 1$ et on obtient le résultat.

  2. On veut montrer que la moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne géométrique.

    Soient $a_1, \dots, a_n$ $n$ nombres réels positifs, avec $n \geq 1$ ; on pose $A = (a_1 + \ldots + a_n)/n$ et $G = (a_1 \cdots a_n )^{1/n}$ , montrer que $A \geq G$.

    Indication : Par induction sur $n$ on montre $P(n)$ vraie pour tout $n$, où : $$P(n): \text{ pour tout } n \text{-uplet } a_1,\dots,a_n>0, \ A\geq G$$

    Base : ($n = 1$, et $A = G$ inutile pour le raisonnement) $n = 2$ et $(a_1 + a_2)/2 \geq \sqrt{a_1 a_2}$ en effet $(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2=a_1+a_2-2\sqrt{a_1 a_2}\geq 0$.

    Induction : Montrer $P (n) \Longrightarrow P (n - 1)$ et $P (n) \Longrightarrow P (2n)$ pour tout $n \geq 2$, d’où le résultat.

    • $P (n) \Longrightarrow P (2n)$ : Prenez $(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1}+\ldots+a_{2n})/2n$, appliquez l’hypothèse de récurrence deux fois et utilisez $P(2)$.

    • $P (n) \Longrightarrow P (n - 1)$ : Pour montrer $P(n-1)$ pour $a_1,\ldots, a_{n-1}$ donnés, on choisit d’ajouter $a_n=(a_1+\cdots+a_{n-1})/(n-1)$ et on va utiliser $P(n)$ sur le $n$-uplet ainsi formé.

      On a $$A_{n-1}=\frac{(a_1+\dots+a_{n-1})}{(n-1)}=a_n$$

      et $$\begin{align} A_n&=\frac{(a_1+\dots+a_{n-1})+\frac{(a_1+\dots+a_{n-1})}{(n-1)}}{n}\\
      &=\frac{(n-1)(a_1+\dots+a_{n-1})+(a_1+\dots+a_{n-1})}{n(n-1)}\\
      &=\frac{(a_1+\dots+a_{n-1})}{(n-1)}=a_n \end{align}$$

      d’où $A=(a_1+\dots+a_n)/n=(a_1+\dots+a_{n-1})/(n-1)=a_n$. Montrez que $P (n) \Longrightarrow P (n - 1)$.

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